纳维尔-斯托克斯方程是流
体力学中描述流体运动的重要方程，它与牛顿运动
定律有着密切的联系。牛顿运动定律描述作用在物体上的合力等于物体的质量与加速度的乘积，而纳维尔-斯托克斯方程描述作用在流体微元上的合力等于流体微元的质量与其加速度的乘积，以及来自流体粘度的力。
矢量计算的张量化
在
传统的流体力学中，矢量
微积分被用来
进行矢量计算。使用张量
语言可以极大地简化这些计算。在微分几何中，矢量被视为一阶张量。使用适当的基底，可以将矢量表示为逆变形式：
u^{\alpha} = (u^{1}, u^{2}, u^{3})
其中 α = 1, 2, 3 是三个空间分量。
二阶张量可以通过两个基底的张量积表示，记为：
T^{\alpha\beta} = (T^{11}, T^{12}, T^{13}, T^{21}, T^{22}, T^{23}, T^{31}, T^{32}, T^{33})
两个矢量的点积可以表示为两个一阶矢量的缩并：
u \cdot v = u^{\alpha} v_{\alpha} = u^{1} v_{1} + u^{2} v_{2} + u^{3} v_{3}
矢量与二阶张量的点积也可以类似定义：
T \cdot u = T^{\alpha\beta} u_{\beta} = T^{11} u_{1} + T^{12} u_{2} + T^{13} u_{3}
nabla 算子的张量表示
在矢量微积分中，求导依赖于所谓的 Nabla 算子。Nabla 算子作用于函数（零阶张量）上，得到一个矢量（一阶张量），即函数的梯度。梯度起源于
数学家希望找到一个量来表示函数在某一特定方向上的变化量，它可以表示为：
\nabla p = \lim_{\Delta l \to 0} \frac{p(x + \Delta l) - p(x)}{\Delta l}
其中 p 是函数，Δl 是任意方向上的单位矢量。等号右边的即是在沿着 l 方向迈出很小一步后，函数 p 的改变量。
注意到 Δl 是个小量，根据多元函数的泰勒
展开，可以计算到：
\nabla p = \frac{\partial p}{\partial x^{\alpha}} e_{\alpha}
其中 e_{\alpha} 是基底。
定义一个新的矢量：
\nabla = \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} e_{\alpha}
根据对点积的改写，可以发现：
\nabla \cdot u = \frac{\partial u^{\alpha}}{\partial x^{\alpha}}
由于方向矢量 l 是任意的，应该有等式成立，即梯度也可以用张量语言重新表示：
\nabla p = \nabla \cdot p e_{\alpha}
仔细对照上一等式，不难发现，形式上 Nabla 算子可以等效于算符：
\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}
注意到张量语言的核心是坐标协变，等号右边的普通导数应替换为协变导数（covariant derivative）：
\nabla_{\alpha} = \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} - \Gamma^{\beta}_{\alpha\gamma} u^{\gamma}
其中 Γ^{\beta}_{\alpha\gamma} 是克里斯托费尔符号。
形式上，Nabla 算子是一个以（升指标后的）协变算符为系数的一阶张量。
协变导数与梯度
协变导数作用到矢量上，得到一个二阶张量：
\nabla_{\alpha} u^{\beta} = \frac{\partial u^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}。
结论
张量语言的引入极大地简化了流体力学中的矢量计算。通过使用张量分析的方法，可以将复杂的矢量计算转化为更为简洁和直观的张量运算。这使得流体力学中复杂的方程和定理更加容易理解和
推导。
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