导言
纳维尔-斯托克斯方程是流体力学中的基本方程，描述了流体的运动。它们以法国工程师克劳德-路易·纳维和英国数学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名。与牛顿运动定律的关系
纳维尔-斯托克斯方程是牛顿第三定律在流体中的表达。牛顿第三定律指出，作用在物体上的每一个作用力都对应着一个大小相等、方向相反的反作用力。在流体中，作用在流体微元上的作用力包括：- 压强梯度
- 粘滞力
纳维尔-斯托克斯方程可以写成：
$$\rho\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -\nabla p + \mu\nabla^2\mathbf{v}$$
其中：
- $\rho$ 是流体的密度
- $\mathbf{v}$ 是流体的速度
- $p$ 是压强
- $\mu$ 是流体的粘度
等式左侧表示流体微元的惯性力，等式右侧表示作用在流体微元上的压强梯度和粘滞力。
用张量语言简化计算
张量语言是一种数学工具，可以简化流体力学中的矢量计算。张量是一个具有多个指标的数学对象，可以表示各种物理量，如速度、应力和应变。用张量语言表示流体力学方程可以大大简化计算。例如，流体微元的应力张量可以用张量表示为：
$$\sigma_{ij} = -p\delta_{ij} + 2\mu e_{ij}$$
其中：
- $\sigma_{ij}$ 是流体微元的应力张量
- $p$ 是压强
- $\delta_{ij}$ 是克罗内克符号
- $e_{ij}$ 是流体微元的应变率张量
用张量语言表示流体微元的受力可以写为：
$$f_i = \partial_j \sigma_{ij}$$
其中：
- $f_i$ 是作用在流体微元上的受力
- $\partial_j$ 是偏导数算子
将流体微元的受力代入纳维尔-斯托克斯方程，可以得到：
$$\rho\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -\nabla p + \mu\nabla^2\mathbf{v}$$
该方程与牛顿第三定律在流体中的表述一致，表明纳维尔-斯托克斯方程是牛顿第三定律在流体中的数学表达。
结论
张量语言是一种强大的数学工具，可以简化流体力学中的矢量计算，从而获得对流体流动行为的更深入理解。使用张量语言，可以推导出流体微元的受力方程，并证明该方程与牛顿第三定律在流体中的表述一致。
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