前言
在前两期
直播课中，我们使用微分几何的语言计算了斯托克斯力，并得出了斯托克斯力的形式。整个
过程中仍留有一个悬念，即从微分几何的
角度理解应力
张量。本期直播课将彻底解决这一疑惑。
回顾：非直角坐标系中的微分几何
我们回顾了使用微分几何求解非直角坐标系问题的便利性。具体来说：
单位基矢：
球坐标系中，单位基矢表示为：
```
e_r = ∂r/∂r
e_θ = ∂θ/∂θ
e_φ = ∂φ/∂φ
```
坐标基矢：
球坐标系中，坐标基矢表示为：
```
d_r = dr
d_θ = r dθ
d_φ = r sinθ dφ
```
度规：
三维欧氏
空间在球坐标系下的度规为：
```
g = diag(1, r^2, r^2 sin^2θ)
```
梯度项的数学说明
斯托克斯定律描述了
固体小球在流体中运动所受到的粘滞力，其中雷诺数需小于 1。斯托克斯力的大小由以下公式给出：
F = ∫∫ σ · n dA
其中：
σ 为应力张量
n 为法向量
dA 为面积元
应力张量包含三个分量：
σ = -pδ + η(∇ · u) + αE
其中：
p 为压力
δ 为单位张量
η 为粘度系数
u 为速度矢量
∇ 为梯度算符
E 为应变张量
梯度算符在球坐标系下的表示形式为：
∇ = Σ_i e_i ∂/∂q_i
其中：
q 是广义坐标（球坐标系中为 r、θ、φ）
e_i 是单位基矢
∂/∂q_i 是偏导数算符
应力张量第二项的贡献
应力张量的第二项为：
σ_2 = η(∇ · u)
使用微分几何的语言，可以将此项表示为：
σ_2 = η Σ_i Σ_j e_i e_j ∂u^j/∂q_i
其中：
u^j 是速度矢量的协变分量
在球坐标系中，当法向量为径向方向时（α = 1），有：
σ_2 = η Σ_j ∂u^j/∂r
将速度矢量的协变分量代入并进行
积分，得到：
F_2 = -4πrηu_r(0)
应力张量第三项的贡献
应力张量的第三项为：
σ_3 = αE
应变张量 E 的一般形式为：
E = Σ_i Σ_j e_i e_j u_{(i,j)}
其中：
u_{(i,j)} 是速度矢量的混合分量
在球坐标系中，有：
E = 1/2 Σ_i Σ_j e_i e_j (∂u_i/∂q_j + ∂u_j/∂q_i)
代入并进行计算，得到：
F_3 = -4πrα(u_θ(0) + u_φ(0) sinθ(0))
总结
通过微分几何的视角，我们完整地求解了斯托克斯力。应力张量中的梯度项和第三项对斯托克斯定的贡献分别为：
F_2 = -4πrηu_r(0)
F_3 = -4πrα(u_θ(0) + u_φ(0) sinθ(0))
这进一步加深了我们
对流体力学中粘性力的理解，为后续深入
研究奠定了基础。
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