引言
张朝阳教授在《张朝阳的物理课》第 232 期课程中，求解了度规的微扰所满足的波动方程，具体推导了度规的形式，介绍了引力波的两种模式，并利用测地偏离方程介绍了引力波导致的可观测效应。
广义相对论的基本框架
广义相对论表明，物质的存在导致时空弯曲。时空的弯曲可以用度规张量来描述。度规张量的一阶导数定义了克氏符，克氏符的二次导数定义了黎曼曲率。黎曼曲率为 0 时，时空是平直的；反之，黎曼曲率不为 0 时，时空是弯曲的。
爱因斯坦场方程描述了物质与时空弯曲之间的关系。黎曼曲率是爱因斯坦场方程的解，它由度规张量的二阶导数组成。因此，求解爱因斯坦场方程可以得到度规张量，进而描述时空的弯曲。
引力波的具体形式
爱因斯坦场方程给出的时空弯曲可以像波一样传播，称为引力波。引力波与物质的相互作用很弱，因此穿透能力极强。这使得引力波成为了观测早期宇宙的重要手段。
引力波的波动方程为：
$$h_{\mu\nu, \alpha\beta} + h_{\alpha\beta, \mu\nu} - h_{\mu\alpha, \nu\beta} - h_{\nu\beta, \mu\alpha} = 0$$ 其中，$h_{\mu\nu}$ 是度规张量的微扰。引力波有两种模式：横向模式和纵向模式。横向模式的度规微扰只在空间方向上有分量，而纵向模式的度规微扰只在时间方向上有分量。
引力波的可观测效应
引力波导致时空的弯曲，从而导致物体运动轨迹的偏离。这一偏离效应称为测地偏离。测地偏离方程为：
$$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = 0$$ 其中，$\tau$ 是固有时间，$\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$ 是克氏符。利用测地偏离方程，可以计算引力波对物体的具体影响。例如，引力波可以使激光干涉仪中激光的相位发生偏移，从而实现引力波的直接探测。
结论
通过求解弱场引力波方程，我们得到了引力波的具体形式和可观测效应。引力波是一种新的天文学观测手段，它将为我们探索早期宇宙和引力理论提供新的窗口。
发表评论