回顾
-
上一节直播课中，张朝阳用微分几何的语言计算了斯托克斯力，并得到了斯托克斯力的形式。
-
但整个过程仍留有一个悬疑，即从微分几何理解应力张量。
单位基矢和坐标基矢
在球坐标系下，单位基矢表示为：
```mathjax
{\bf e}_r = \frac{{\bf r}}{r}, \quad {\bf e}_\theta = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} {\bf r}, \quad {\bf e}_\phi = \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} {\bf r}
```
坐标基矢表示为：
```mathjax
{\bf e}_1 = \frac{\partial}{\partial r}, \quad {\bf e}_2 = \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad {\bf e}_3 = \frac{\partial}{\partial \phi{\bf e}_1 = 2\eta \left({\bf D} - \frac{1}{3} {\bf I} \nabla \cdot {\bf v}\right) \cdot {\bf e}_1
```
在下面的运算中需要用到以下关系：当 $\beta = 1$ 时，有：
```mathjax
{\bf \nabla} \times {\bf e}_1 = 0
```
当 $\delta = 1$ 时，有：
```mathjax
{\bf \nabla} \cdot {\bf e}_1 = \frac{2}{r}
```
因此，有：
```mathjax
{\bf \sigma}_2 \cdot {\bf e}_1 = 2\eta \left({\bf D} - \frac{1}{3} {\bf I} \frac{2}{r}\right) \cdot {\bf e}_1
```
应力张量第三项的贡献
张朝阳同样运用微分几何的
方式计算了应力张量第三项：
```mathjax
{\bf \sigma}_3 = -\frac{2\eta}{3} {\bf I} ({\bf \nabla} \cdot {\bf v})
```
推导过程与第二项类似，最后得到：
```mathjax
{\bf \sigma}_3 \cdot {\bf e}_1 = -\frac{2\eta}{3} ({\bf \nabla} \cdot {\bf v})
```
总结
通过微分几何的语言，我们可以更深入地理解应力张量及其在斯托克斯
定律中的贡献。
本直播课的
视频回放可在搜狐视频中观看：
《张朝阳的物理课》第二百二十七期
发表评论