中应力张量的粘滞阻力推导 用微分几何证明斯托克斯定律 张朝阳的物理课 (应力张量的特点)

球坐标系中，法向导数∂ _i n _i 为：

∂ _i n _i = (∂ê _r /∂r) = (1/r)ê _r

因此，第三项可以写为：

F ₃ = -μ∫∫S(−pδ _ij + (μ + λ)Δ _ij - μ∂ _j u _i )ê _j (1/r)ê _i dS

由于α=1(径向方向)，因此有：

F ₃ = -μ∫∫S(−pδ ₁₁ + (μ + λ)Δ ₁₁ - μ∂ ₁ u ₁ )(1/r)dS

计算出克氏符和度规分量后，得到：

F ₃ = -4πμ(μ + λ)Δ ₁₁

结论

通过微分几何的语言，我们完整地揭示了应力张量在斯托克斯定律中的作用，计算了第二项和第三项对斯托克斯力的贡献。这进一步加深了我们对固体小球在流体中运动的理解。