直播课程回顾
在张朝阳的物理课第227期直播中，张朝阳回顾了使用微分几何求解非直角坐标系问题的便利性，并说明了梯度项的数学内涵。他应用微分几何计算了应力张量的第二项和第三对斯托克斯定律的贡献。
单位基矢和坐标基矢
在球坐标系下，单位基矢表示为： $$\mathbf{e}_{\alpha} = (\sin\theta \cos\phi, \sin\theta \sin\phi, \cos\theta)$$ 对这些单位基矢求偏导的结果为： $$\partial_{\beta} \mathbf{e}_{\alpha} = \sum_{\gamma=1}^3 \Gamma^{\gamma}_{\alpha \beta} \mathbf{e}_{\gamma}$$ 其中，$\Gamma^{\gamma}_{\alpha \beta}$ 是克氏符。
坐标基矢表示为： $$\mathbf{x}^{\alpha} = (r, \theta, \phi)$$ 在球坐标系下，它们不是正交归一的，具体为： $$g^{\alpha \beta} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2\theta \end{pmatrix}$$ 其中，$g^{\alpha \beta}$ 是度规。
速度矢量
一个速度矢量可以表示为： $$\mathbf{v} = v^{\alpha} \mathbf{x}_{\alpha}$$ 其中，$v^{\alpha}$ 是向量的逆变指数，也是向量的分量；这里的$\mathbf{x}_{\alpha}$ 是坐标基矢，我们称为下基矢。而对偶空间的坐标基矢为上基矢，表示为$\mathbf{x}^{\alpha}$。上基矢和下基矢的点乘为： $$\mathbf{x}^{\alpha} \cdot \mathbf{x}_{\beta} = \delta^{\alpha}_{\beta}$$ 按照这个说法，原来的速度矢量可以写为： $$\mathbf{v} = v_{\alpha} \mathbf{x}^{\alpha}$$ 即速度矢量的逆变表示可以理解为矢量在上基矢的投影（点乘），而速度矢量的协变表示可以类似地理解为矢量在下基矢的投影（点乘）。
应力张量中梯度项的数学说明
斯托克斯定律是固体小球在流体中运动所受到的粘滞力。在整个过程中，雷诺数需要小于1。应力张量的具体形式为： $$\sigma^{\alpha \beta} = g^{\alpha \beta} + \mu \left( \partial_{\alpha} v_{\beta} + \partial_{\beta} v_{\alpha} \right) - \frac{2}{3} \mu g^{\alpha \beta} \partial_{\gamma} v^{\gamma}$$ 其中，$\mu$ 是流体的粘度；$g^{\alpha \beta}$ 是度规。
前面的导数算符理解为微分几何中的协变导数： $$\nabla_{\alpha} v_{\beta} = \partial_{\alpha} v_{\beta} + \sum_{\gamma=1}^3 \Gamma^{\gamma}_{\alpha \beta} v_{\gamma}$$ 为了指标平衡，实际需要将这个协变导数再用度规升上去，这样才能跟应力张量的形式一致。
梯度在微分几何下理解后的表示形式为： $$\nabla \Psi = g^{\alpha \beta} \partial_{\alpha} \Psi \mathbf{x}_{\beta}$$ 其中，$\Psi$ 是任意一个对象。
应力张量第二项的贡献
应力张量所贡献的力，即斯托克斯定律为： $$\mathbf{F} = \int_{\partial \Omega} \sigma^{\alpha \beta} n_{\beta} \mathrm{d}S^{\alpha}$$ 其中，$\partial \Omega$ 是固体球的表面；$n_{\beta}$ 是法向矢量；$\mathrm{d}S^{\alpha}$ 是面积元。
第二项按照上述的理解，可以写为： $$\int_{\partial \Omega} \sigma^{\alpha 1} n_{1} \mathrm{d}S^{\alpha} = \int_{\partial \Omega} \left( g^{\alpha 1} + \mu \left( \partial_{\alpha} v_{1} + \partial_{1} v_{\alpha} \right) - \frac{2}{3} \mu g^{\alpha 1} \partial_{\gamma} v^{\gamma} \right) n_{1} \mathrm{d}S^{\alpha}$$ 由于法向方向就是径向，因此$\alpha=1$，即有： $$\int_{\partial \Omega} \sigma^{\alpha 1} n_{1} \mathrm{d}S^{\alpha} = \int_{\partial \Omega} \left( 1 + \mu \left( \partial_{r} v_{r} + \frac{1}{r} \partial_{\theta} v_{\theta} + \frac{1}{r\sin\theta} \partial_{\phi} v_{\phi} \right) - \frac{2}{3} \mu \partial_{r} v_{r} \right) r^2 \sin\theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$$ 在下面的运算中，我们需要用到以下关系： $$g^{\alpha 1} n_{1} = r \quad (\mathrm{when} \ \alpha=1)$$ $$g^{\alpha \beta} n_{\beta} n_{\alpha} = 1$$ $$\Gamma^{\gamma}_{11} = 0$$ 得到： $$\int_{\partial \Omega} \sigma^{\alpha 1} n_{1} \mathrm{d}S^{\alpha} = \int_{\partial \Omega} \left( 1 + \mu \left( \partial_{r} v_{r} + \frac{1}{r} \partial_{\theta} v_{\theta} + \frac{1}{r\sin\theta} \partial_{\phi} v_{\phi} \right) - \frac{2}{3} \mu \partial_{r} v_{r} \right) r^2 \sin\theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$$ $$= \int_{\partial \Omega} \left( 1 + \mu \left( \frac{1}{r} \partial_{\theta} v_{\theta} + \frac{1}{r\sin\theta} \partial_{\phi} v_{\phi} \right) \right) r^2 \sin\theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$$ 最后写成一个矢量形式得到： $$\mathbf{F} = -6\pi \mu r \left( \frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{1}{\sin\theta} \partial_{\phi} v_{\phi} \right)$$
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