前言
在流体力学领域，纳维尔-斯托克斯方程是一组重要的偏微分方程，描述了流体的运动和行为。
本篇文章将探讨如何理解纳维尔-斯托克斯方程，它与牛顿运动定律的关系，以及如何利用张量语言简化流体力学中的矢量计算。
张量语言的优势
在传统的矢量微积分中，流体力学中的计算往往复杂且繁琐。利用张量语言，我们可以显著简化这些计算。
张量是描述物理量的多维数组，具有协变和逆变指标。它允许我们在坐标系之间进行无缝转换，并以一种简洁的形式表达物理定律。
矢量微积分与张量语言的对应关系
以下是矢量微积分中常见的运算与对应的张量表示形式：
- 点乘： \( a \cdot b = a_i b_i \)
- 叉乘： \( a \times b = \varepsilon_{ijk} a_i b_j \)
- 梯度： \( \nabla f = \partial_i f \)
- 散度： \( \nabla \cdot a = \partial_i a_i \)
- 旋度： \( \nabla \times a = \varepsilon_{ijk} \partial_i a_j \)
其中，\(a\)、\(b\)是向量，\(f\)是标量函数，\(\varepsilon_{ijk}\)是列维-奇维塔符号。
纳维尔-斯托克斯方程
纳维尔-斯托克斯方程描述了流体的运动，包括速度、压力和粘度的影响。方程等号右侧的项分别对应于压力梯度和粘性力。
方程形式如下：
\( \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} \)其中：
- \(\rho\)是流体的密度
- \(\mathbf{v}\)是流体的速度
- \(p\)是流体的压力
- \(\mu\)是流体的粘度
纳维尔-斯托克斯方程与牛顿运动定律
通过将流体微元视为一个粒子，可以证明纳维尔-斯托克斯方程等号右侧的受力恰好对应于牛顿第三定律。即流体微元所受的总力等于流体内部压力梯度和粘性力之和。
利用张量语言推导纳维尔-斯托克斯方程
我们可以利用张量语言从流体应力张量中推导出流体微元的受力。应力张量描述了流体内部各个方向的应力分布。受力为应力张量的散度。
设应力张量为\(\sigma_{ij}\)，则流体微元的受力为：
\( F_i = \partial_j \sigma_{ij} \)代入应力张量的组成，并进一步展开，可以得到：
\( F_i = -\partial_i p + \mu \left( \partial_i \partial_j v_j + \partial_j
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