课程回顾
在上两节直播课中，张朝阳教授用微分几何的语言计算了斯托克斯力，并得到了斯托克斯力的形式。但在整个过程中，仍然留有一个悬念，即从微分几何理解应力张量。
单位基矢和坐标基矢
按照上一节直播课的数学符号精神，在球坐标系下，单位基矢表示为：
e_r = (sin(phi)cos(theta), sin(phi)sin(theta), cos(phi))
e_phi = (cos(phi)cos(theta), cos(phi)sin(theta), -sin(phi))
e_theta = (-sin(theta), cos(theta),0)
对这些单位基矢求偏导的结果可以用空间几何的方式求出，其结果为：
∇e_r = (e_phi/r, e_theta/r, -e_r/r)
∇e_phi = (-e_r/r, e_theta/r, 0)
∇e_theta = (-e_r tan(phi), -e_phi tan(phi), e_theta/r)
坐标基矢表示为：
d\rho = (sin(phi)cos(theta), sin(phi)sin(theta), cos(phi))
d\phi = (cos(phi)cos(theta), cos(phi)sin(theta), -sin(phi))
d\theta = (-sin(theta), cos(theta), 0)
但这三个在球坐标系下不是正交归一的，具体为：
g_\{rr} =1, g_\{rphi} = g_\{phi r} = 0, g_\{rtheta} = g_\{thetar} = 0, g_\{phiphi} = r^2, g_\{phitheta} = g_\{theta phi} = 0, g_\{thetatheta} = r^2 sin^2(phi)
这也反应了三维欧氏空间在球坐标系下的度规为：
g = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & r^2 & 0 \\\ 0 & 0 & r^2 sin^2(phi) \end{pmatrix}
速度矢量的表示
在这个基础上，一个速度矢量可以表达为：
v = v^r e_r + v^\phi e_\phi + v^\theta e_\theta
其中 $v^r$ 为向量的逆变指数，也是这个向量的分量；这里的基矢为坐标基矢，我们称为下基矢。
而对偶空间的坐标基矢为上基矢，表示为：
d\rho^, d\phi^, d\theta^
上基矢和下基矢的点乘为：
d\rho^ \cdot d\rho = 1, d\rho^ \cdot d\phi = 0, d\rho^ \cdot d\theta = 0, \\\ d\phi^ \cdot d\rho = 0, d\phi^ \cdot d\phi = r^2, d\phi^ \cdot d\theta = 0, \\\ d\theta^ \cdot d\rho = 0, d\theta^ \cdot d\phi = 0, d\theta^ \cdot d\theta = r^2 sin^2(phi)
按照这个说法，原来的速度矢量可以写为：
v = v_rd\rho^ + v_\phi d\phi^ + v_\theta d\theta^
即速度矢量的逆变表示可以理解为矢量在上基矢的投影（点乘），而速度矢量的协变表示可以类似地理解为矢量在下基矢的投影（点乘）。
应力张量中梯度项的数学说明
斯托克斯定律是固体小球在流体中运动所受到的粘滞力。在整个过程中雷诺数需要小于1。在之前的课程中，我们已经求出其大小关键是需要引入一个应力张量：
\sigma = -p\mathbf{I} + \mu \left( \nabla v + (\nabla v)^T \right)
而斯托克斯力大小是应力张量跟法向矢量的点乘在z轴上投影的面积分：
F = \int\int \sigma_{zr} dA
凑巧的是，从固体球看是一个球坐标系，导致这里的法矢为径向矢量，即单位矢量 $e_r$ 或坐标基矢 $d\rho$ 都可以。
这里的应力张量的具体形式为：
\sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{rr} & \sigma_{r\phi} & \sigma_{r\theta} \\\ \sigma_{\phi r} & \sigma_{\phi\phi} & \sigma_{\phi\theta} \\\ \sigma_{\theta r} & \sigma_{\theta\phi} & \sigma_{\theta\theta} \end{pmatrix}
其中右边第一项的 $g$ 为度规，最后一项 $T$ 表示转置。
在上节直播课程中，我们不加解释地说 $\sigma_{rr}$ 是一个二阶张量，前面的导数算符理解为微分几何中的协变导数。在这里我们补充说明一下。
首先需要指出的是这里的二阶张量写出分量，两个都是逆变指标，而前面的导数算符理解为协变导数。
为了指标平衡，实际需要将这个协变导数再用度规升上去，这样才能跟应力张量的形式一致。
接着，我们再说明一下梯度在微分几何下理解后的表示形式。在矢量微积分中，一个梯度在球坐标下表示为：
\nabla\Psi = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial r}, \frac{1}{r}\frac{\partial\Psi}{\partial\phi}, \frac{1}{r\sin(phi)}\frac{\partial\Psi}{\partial\theta} \right)
我们从几何上去理解梯度，可以认为是任意一个对象 $\Psi$ 沿着一个方向的变化，其中底下的 $l$ 就代表沿着 $l$ 方向变化的一小段距离。
这个沿着 $l$ 方向有一个微小的变化可表示为一个矢量，在 $\alpha$ 方向的大小为 $\delta\Psi_\alpha$，可重新表述这个矢量为：
d\Psi = \delta\Psi_\alpha d\alpha
所以 $\Delta l$ 为：
\Delta l = \sqrt{l_\alpha l_\alpha} = \sqrt{g_{\alpha\beta}\delta\alpha \delta\beta}
重新代回得到：
d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial l}\Delta l = \frac{\partial\Psi}{\partial l}\sqrt{g_{\alpha\beta}\delta\alpha \delta\beta}
后面的 $\Delta\Psi$ 应该理解为微小的变化 $d\Psi$，底下的两个长度乘积在我们所选取的正交标架下有如下关系：
\delta\alpha \delta\beta = g_{\alpha\beta} \epsilon^2
由于此处度规是对角的，度规分量的倒数就是其逆矩阵分量：：
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