引言
广义相对论是爱因斯坦提出的重大科学理论，它预测了引力波的存在。引力波是时空弯曲效应的传播，类似于电磁波在电磁场中的传播。
本文将介绍如何表明广义相对论存在引力波，以及如何推导引力微扰的波动方程。
广义相对论预言引力波
爱因斯坦的早期猜想
早在1916年，爱因斯坦就曾在与史瓦西的信件中提出应该存在引力的波动，类似于电磁波在电磁场中的传播。爱因斯坦提出，引力波以光速传播，并且在源处释放能量。当时的数学处理并不完善，使得这些波的物理实在性受到质疑。
数学基础的发展
尽管存在质疑，物理学家门仍继续研究广义相对论和引力波的数学基础。到1950年代，在赫尔曼·邦迪（Hermann Bondi）、费利克斯·皮拉尼（Felix Pirani）和伊凡·罗宾逊（Ivor Robinson）的努力下，确定了引力波携带能量。而邦迪在1957年通过 Bondinews 这一物理量，确切地描述了引力波如何从一个源中辐射出来，证明了引力波能够在没有坐标系依赖的情况下，携带出能量、动量和角动量。
雷纳·萨克斯（Rainer Sachs）与约瑟夫·波多尔斯基（Joseph Goldberg）在1962年的本文中，通过纽曼-彭罗斯形式形式（Newman-Penrose formalism）提出了 Sachs-Goldberg 公式，进一步规范了描述引力波的方法。至此，人们已经确信了在广义相对论的框架中的确存在引力广义相对论中，不涉及到具体观测某一个物理现象时，并不一定需要找一些简单的情形来说明物理规律。一方面是因为广义相对论中会遇到各种阶数的张量，通常具体去计算分量会很复杂，分量的计算往往不会简单的物理情形而简单。另一方面，假如能够熟练使用爱因斯坦求和规则，会使形式计算变得更加简单。
爱因斯坦方程在弱场情形下可以出现波动方程，张朝阳为我们展示了这一理论推导的过程：
时空的微扰度规
对时空做微扰展开，背景时空为平直
$$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$$其中，$\eta_{\mu\nu}$ 为平直时空的度规，$h_{\mu\nu}$ 为微扰。
爱因斯坦方程的一阶微扰
将微扰度规代入爱因斯坦方程，并取一阶微扰项，得到爱因斯坦方程的一阶微扰方程：
$$\Box h_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\partial_\mu\partial_\nu h_\rho^{\rho}=-\frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$$其中，$\Box$ 为达朗贝尔算子，$c$ 为光速，$G$ 为万有引力常数，$T_{\mu\nu}$ 为能量-动量张量。
引力波的波动方程
对于引力波，能量-动量张量为零，得到引力微扰的波动方程：
$$\Box h_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\partial_\mu\partial_\nu h_\rho^{\rho}=0$$这是一个波动的方程，描述了引力波在时空中的传播。
结论
广义相对论预言了引力波的存在，通过数学推导和实验探测，我们已经确信了引力波的真实性。引力波的发现为探索宇宙提供了新的工具，揭示了黑洞合并、中子星碰撞等极端天体物理现象的奥秘。它还将帮助我们了解宇宙起源和演化的基本问题。
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